\subsection{组合}\label{subsec:2-4}

我们看下面的问题：

在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，有多少种不同的飞机票价？

这个问题与第 \ref{subsec:2-2} 节中计算飞机票种数的问题不同。飞机票的种数与起点站、终点站有关，
从北京到上海和从上海到北京，飞机票是不同的，也就是与顺序有关；但飞机票价只与起点站和终点站之间的距离有关，
从北京到上海和从上海到北京，飞机票价是相同的，也就是与顺序无关。
因此，第 \ref{subsec:2-2} 节中计算飞机票种数的问题，是从三个不同的元素中任取两个，然后按照一定的顺序排列，
求一共有多少种不同的排列方法，这是排列问题；而本节这个问题，是从三个不同的元素中任取两个，不管怎样的顺序
并成一组，求一共有多少个不同的组，这就是要研究的组合问题。

一般地说，从 $n$ 个不同元素中，任取 $m \; (m \leqslant n)$ 个元素并成一组，
叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的一个\textbf{组合}。

上面问题中要确定有几种不同的飞机票价，就是要求从 $3$ 个不同的元素中取出 $2$ 个元素的所有组合的个数。
因为上海到广州和广州到上海的飞机票价是相同的，所以这两站间的飞机票价就是从北京、上海、广州这三个
不同元素中取出上海、广州这两个元素的一个组合。

如果两个组合中的元素完全相同，不管元素的顺序如何，都是相同的组合；
只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合。例如，从 $a,\, b,\, c$
三个不同的元素中取出两个元素的所有组合有 $3$ 个，它们分别是：
$$ ab,\quad ac,\quad bc \text{。} $$
组合 $ab$ 与组合 $ba$ 是相同的组合，而组合 $ab$ 与组合 $ac$ 是不同的组合。

从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，组合与顺序无关。
例如 $ab$ 与 $ba$ 是两个不同的排列，但它们却是同一个组合。

在实际问题中，有时需要写出某个组合问题的所有组合。例如，已知 $a,\, b,\, c,\, d$ 这 $4$ 个元素，
写出每次取出 $2$ 个元素的所有组合，可以先列出下图（图\ref{fig:2-7}）：

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \input{../pic/ds3-ch2-2-7}
    \caption{}\label{fig:2-7}
\end{figure}

如图\ref{fig:2-7} 所表示的，先把 $a$ 从左到右依次与 $b,\, c,\, d$ 组合，
再把 $b$ 依次与 $c,\, d$ 组合， 再把 $c$ 与 $d$ 组合，由此可以写出所有的组合：
$$ ab,\quad ac,\quad ad,\quad bc,\quad bd,\quad cd \text{。} $$

